ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ

“n” harfi, örüntüdeki sayıların sırasını veya yerini belirten işaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden n’ye örüntünün n. sayısı, temsilci sayısı veya genel sayısı denir.

Bir sayı örüntüsünde n. sıradaki sayının n değişkeni cinsinden ifadesine örüntünün kuralı denir.

ÖRNEK: 2, 4, 6, 8, 10, diye devam eden örüntünün kuralı 2n’dir.

Örüntünün kuralında istenilen adımdaki sayıyı bulmak için adım numarası n yerine yazılarak sayı bulunur.

Yukarıdaki örnekte 25. terimi bulmak için örüntünün kuralındaki n yerine 25 yazarak:

2n = 2.25 = 50 buluruz.

Örüntünün 25. terimi 50’dir.

ÖRNEK : 8n+3 örüntüsünün 7. terimini bulmak için n yerine 7 yazarız:

8.7 + 3 = 56 + 3 = 59

ÖRÜNTÜNÜN KURALINI BULMA

Sayı örüntüsünün kuralını bulmak için örüntüyü incelememiz gerekir. Sayılar arasındaki ilişkiyi yakalarsak kuralını bulmamız kolaylaşır.

Her bir adım aynı sayı kadar artıyorsa ( veya azalıyorsa ) bu örüntülerin kuralını şu şekilde buluruz:

1. Terim ► 5

2. Terim ► 8

3. Terim ► 11

…

n. Terim ► 3n+2

Bu kuralı şöyle bulduk:

Örüntüyü incelersek her adımda 3’er 3’er artıyor. O yüzden n’i 3 ile çarparız. (3n)

Daha sonra örüntünün ilk terimi 5’miş. Yani kuralda n yerine 1 yazınca sonuç 5 çıkacak. 3n kuralında 3 çıkıyor. O yüzden 2 ekliyoruz. (3n+2)

Kontrol edebiliriz. 3n+2 kuralında 3.terimin 11 çıkması lazım. 3.3+2=11

Unutmayalım bu yöntem terimler ritmik bir şekilde artıyorsa kullanılır.

Örüntü her zaman ritmik artmayabilir. Mesela:

1. Terim ► 1

2. Terim ► 4

3. Terim ► 9

4. Terim ► 16

…

n. Terim ► n²

Burada da örüntüyü incelediğimizde sayı bulunduğu adımın kendisi ile çarpımına eşit. Yani n. adımda da n’in kendisi ile çarpımı n² olacak.

ÖRÜNTÜ MODELLERİ

Modellenen sayı örüntülerinin kurallarını bulmak için sayı örüntülerini yazarız. [SPOT 1 ]

Yukarıdaki şekil örüntüsünde her adımdaki kare sayısını yazarız. Daha sonra bu sayılar arasındaki ilişkiyi buluruz.

Her adımda 4’er 4’er artıyor ve ilk adımdaki sayımız 1 olduğu için kuralımız 4n-3 olur.

CEBİRSEL İFADELERLE İŞLEMLER

CEBİRSEL İFADELER

• Bir sayının değerinin bilinmediği durumlarda bu sayının yerine bir değişken veya bilinmeyen yazarız. (x, y, a gibi…)
• En az bir  bilinmeyen ve bir işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir.

ÖRNEK: Bir sayının 2 katının 3 fazlası ifadesini cebirsel ifade olarak yazalım.

Burada sayıyı bilmediğimiz için bu sayı yerine x kullanırız. Cebirsel ifademiz: 2x + 3 olur.

• Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir.
• Değişkenle çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir.

ÖRNEK: 3x ifadesinde x bilinmeyen, 3 ise katsayıdır.

• Terimleri birbirinden ayırmak için toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden ifadeyi böleriz. Her parça bir terimdir. [SPOT 2 ]

ÖRNEK: 5x + 2y − 7 ifadesini inceleyelim.

5x + 2y − 2 ifadesini “+” ve “−” işaretlerinin önünden bölersek terimleri elde ederiz.

5x / + 2y / − 7 ifadesi 3 terimlidir. Terimleri 5x, 2y ve −7’dir

• İçerisinde değişken bulunmayan terime sabit terim denir.

ÖRNEK: 6y + 12 ve −3x − 9 ifadelerinde sabit terimleri bulalım.

6y + 12 cebirsel ifadesinde sabit terim +12’dir.

−3x − 9 cebirsel ifadesinde sabit terim −9’dur.

• Sabit terim de bir katsayıdır. [SPOT 3 ]

5x² − 7 cebirsel ifadesinde kat sayılar 5 ve −7’dir.

• Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı kuvvetine sahip terimlerine benzer terim denir.

ÖRNEK: 3x , 5x ,  – 9x ,  0,5x  ,  x terimleri benzer terimdir.

5a , a² , 5b , 2 , 3y terimlerinden hiç biri benzer terim değildir.

CEBİRSEL İFADELERDE TOPLAMA İŞLEMİ

• Cebirsel ifadelerle toplama işlemi benzer terimler arasında yapılır. Benzer terimlerin katsayıları arasında toplama işlemi uygulanır. (Benzer olmayan terimler toplanamaz.) [SPOT 4 ]

ÖRNEK: 3x + 5x işleminin sonucunu bulalım

3x + 5x = (5+3)x = 8x

(3x ve 5x benzer terim oldukları için katsayıları toplanıp 8x bulunur)

ÖRNEK: 2x + 3y2 + 9x + 2y2 işleminin sonucunu bulalım

2x + 3y² + 9x + 2y² = 11x + 5y²

(2x ile 9x benzerdir toplanıp 11x bulunur. 3y² ile 2y² benzerdir toplanıp 5y² bulunur)

CEBİRSEL İFADELERDE ÇIKARMA İŞLEMİ

Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi toplama işleminde olduğu gibi benzer terimlerin katsayıları arasında yapılır. [SPOT 5]

ÖRNEK: 9a − 3a işleminin sonucunu bulalım

9a − 3a = (9 − 3)a = 6a

(9a ve 3a benzerdir. Katsayılarını çıkartırsak 6a buluruz)

ÖRNEK: 5c + 8c − 2c işleminin sonucunu bulalım

5c + 8c − 2c = (5 + 8 − 2)c = 11c

(Yine benzer terimlerin katsayıları arasında toplama çıkarma işlemi yapılır.)

NOT: Burada yaptığımız toplama, çıkarma işlemine cebirsel ifadeyi sadeleştirme ,veya cebirsel ifadeyi en sade halinde yazmak da denir. [SPOT 6 ]

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ

Cebirsel ifadelerle çarpma işlemini adım adım inceleyelim.

Bir terimli bir ifadeyle bir terimli bir ifadeyi çarpmak:

• Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır. [SPOT 7 ]

ÖRNEK: 3 ile 5x ifadesini çarpalım.

3 sayısı ile 5x’in katsayısı olan 5 çarpılır ve x’in yanına katsayı olarak yazılır.

3. 5x = 15x

ÖRNEK: 4x ile 2y’i çarpalım

Katsayılar çarpımı: 4.2=8

Biinmeyenler çarpımı: x.y = xy

4x. 2y = 8xy

Bir terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak:

• Bir terimlideki terim diğer iki terimle sırayla çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır. [SPOT 8 ]

ÖRNEK: 5. ( 7x + 2y ) işlemini yapalım.

Tek terimli 5, diğer iki terimle ayrı ayrı çarpılır. (Dağılma Özelliği gibi)

= 5. 7x + 5. 2y

= 35x + 10y

ÖRNEK: −2x. ( x + 3 ) işleminde de aynı şekilde x ve +3’ü sırayla −2x ile çarparız.

= ( −2x. x) + ( −2x. 3 )

= ( −2x²) + ( −6x)